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本书是编者根据在云南大学数学与统计学院多年讲授“数学与物理方程”课程所使用的讲义整理而成 .主要介绍了四类基本方程的推导, 求解一阶非线性偏微分方程边值问题的特征法, 二阶半线性偏微分方程的分类理论, 以及求解一般二阶线性偏微分方程定解问题的分离变量法、积分变换法和Green函数法. 在此基础上, 着重讲述了研究偏微分方程解的定性理论的能量法和极值原理. 本书 共分5章, 逻辑严谨、 叙述准确、 结构清晰、 内容充实, 并附适量习题供读者巩固知识之用.

目录

第 1章基本方程的推导和定解问题  1
1.1一维波方程的推导和定解问题  1
1.1.1弹性弦一维横振动方程的推导和定解问题 1
1.1.2弹性杆一维纵向振动运动方程和定解条件 11
1.2热方程的推导及定解问题 15
习题 1.1 20
1.3 Laplace方程 20
1.4变分原理  23
1.4.1弹性薄膜的平衡最小势能原理  24
1.4.2弹性薄膜的微小横振动
Hamilton稳定作用原理 29
习题 1.2 32
1.5流体连续性方程 33
1.6偏微分方程相关概念 35
1.6.1多重指标  35
1.6.2偏微分方程定义及简单分类  35
1.6.3常见的 PDE 37
1.6.4定解问题的适定性 39
习题 1.3 43

第 2章一阶偏微分方程特征理论  44
2.1一阶线性 PDE特征法  44
2.1.1一阶线性 PDE边值问题 45
2.1.2一阶线性非齐次传输方程  46
2.2一阶非线性 PDE特征法 48
2.2.1寻找特征  49
2.2.2解的局部存在唯一性 51
2.2.3特征法的应用 54
习题 2.1 63

第 3章二阶半线性偏微分方程的分类与化简 65
3.1两个独立变元二阶半线性偏微分方程的分类与化简  66
3.1.1方程的分类  66
3.1.2化简标准型  68
习题 3.1 77
3.2多个独立变元二阶半线性方程的分类  78
3.2.1多个独立变元二阶半线性方程的分类标准  78
3.2.2常系数二阶半线性方程的化简  80
习题 3.2 83

第 4章二阶线性偏微分方程常用解法  85
4.1两个独立变元双曲型方程特征法 85
4.1.1 uηδ =0的情形  85
4.1.2几类二阶线性齐次双曲第二标准型的通解  87
习题 4.1 91
4.2分离变量法  92
4.2.1线性齐次方程带线性齐次边界情形 93
4.2.2波方程混合问题的分离变量法 101
4.2.3热方程混合问题的分离变量法 105
4.2.4线性椭圆型方程边值问题的分离变量法117
4.2.5线性非齐次问题的齐次化 121
习题 4.2130
4.3 Sturm-Liouville问题136
4.3.1自共轭微分算子 136
4.3.2 Regular Sturm-Liouville问题 139
习题 4.3141
4.4波方程初值问题 142
4.4.1一维波方程情形 d’Alembert公式142
4.4.2三维波方程初值问题球面平均147
4.4.3二维波方程初值问题降维法155
4.4.4一维波方程半直线问题延拓法156
习题 4.4160
4.5热方程 Cauchy问题 Fourier变换 162
4.5.1 Fourier变换 162
4.5.2热方程 Cauchy问题 163
4.5.3热方程半直线问题延拓法174
4.5.4 Fourier正弦变换和余弦变换177
习题 4.5184

第 5章二阶线性偏微分方程解的定性理论188
5.1双曲型方程能量估计 188
5.1.1波方程初值问题解的物理解释 Huygens原理188
5.1.2双曲型方程能量估计解的适定性196
5.1.2.1混合问题能量估计198
5.1.2.2 Cauchy问题能量估计 210
习题 5.1220
5.2椭圆型方程能量估计222
5.2.1边值问题的唯一性223
5.2.2边值问题的稳定性225
习题 5.2228
5.3 Laplace方程的基本解极值原理 Green函数·229
5.3.1 Laplace方程基本解 230
5.3.2调和函数的平均值公式和极值原理234
5.3.3调和函数的性质 239
5.3.4 Poisson方程边值问题解的 Green函数表示·247
习题 5.3264
5.4线性椭圆型方程极值原理265
5.4.1弱极值原理 Dirichlet边值问题逐点先验估计266
5.4.2 Hopf引理271
5.4.3强极值原理混合边值问题逐点先验估计272
习题 5.4278
5.5抛物型方程能量估计极值原理 278
5.5.1混合问题的能量估计279
5.5.2热方程极值原理与逐点估计 284
5.5.3线性抛物型方程极值原理 287
5.5.4抛物型方程解的正性扰动的无限传播291
5.5.5 Cauchy问题 292
5.5.6热方程逆时间问题的不适定性 300
习题 5.5300

参考文献 303
索引305